五个月宝宝被蚊子叮咬后红肿硬，家长可采取以下措施：
1.局部清洁：使用温和无刺激的肥皂水清洗叮咬部位，保持皮肤清洁。
2.冷敷缓解：用冷毛巾或冰袋轻轻敷在红肿处，每次约10-15分钟，每天2-3次，有助于减轻肿胀和瘙痒。
3.外用药物：在医生指导下，可使用炉甘石洗剂、地奈德乳膏等外用药物，以减轻红肿硬的症状。注意避免使用刺激性强的药物。
4.避免抓挠：剪短宝宝的指甲，避免其抓挠叮咬部位，以防皮肤破损引发感染。
5.观察病情：密切观察宝宝的症状变化，如出现持续发热、红肿范围扩大、流脓等情况，应及时就医检查。